Una pregunta: tienes que tener abierto el Thunderbird para que te salga la notificacion?
Si es afirmativo, habra algun programita que este viendo si tenes correo y saltarte la notificacion sin necesidad de tener el cliente de correo abierto?
Si, hay una basta colección de programas en Linux que pueden realizar esa tarea.
Principalmente uso Gmail, asi que buscando para el:
apt-cache search gmail
Veo candidatos:
cgmail - mail checker for the GNOME desktop
gmail-notify - A Gmail Notifier
checkgmail - alternative Gmail Notifier for Linux via Atom feeds
mail-notification - Aviso de correo en la bandeja del sistema
De todos esos, mail-notification parece ser el mas capaz:
http://www.nongnu.org/mailnotify/