Trasladar el servicio hacia su nueva direccion podria ser una opcion. Tambien podria traspasar a alguien mas, que este de acuerdo en adquirir el servicio y notificar a Claro de dicho proceso, para que se haga el tramite de cambio de nombre y responsable de pago.
Como te dijeron antes, todo eso esta considerado en el contrato. Que lo lea bien, para que pueda ver que solucion puede encontrar.